Množiny okolo nás

Matematické základy informatiky

Množiny
okolo nás

Kde ich stretneš v appkách, ktoré používaš každý deň

Množina v množine

Podmnožina: každý prvok A je aj prvkom B → píšeme A ⊆ B

Ľudia na svete

Používatelia Spotify

Premium

Premium
⊆ Spotify
⊆ Ľudia

Každý Premium používateľ je aj používateľ Spotify. Opačne to neplatí.

U × P: všetky možné dvojice

U = používatelia, P = pesničky. Karteziánsky súčin = každý s každou.

s1 Ain't in LA
ADÉLA

s2 Leto v kufri
Gleb

s3 Blinding Lights
The Weeknd

s4 Birds of a Feather
Billie Eilish

s5 Espresso
Sabrina Carpenter

Ema

Tomáš

Lucia

Marek

(Ema, s1)

(Ema, s2)

(Ema, s3)

(Ema, s4)

(Ema, s5)

(Tomáš, s1)

(Tomáš, s2)

(Tomáš, s3)

(Tomáš, s4)

(Tomáš, s5)

(Lucia, s1)

(Lucia, s2)

(Lucia, s3)

(Lucia, s4)

(Lucia, s5)

(Marek, s1)

(Marek, s2)

(Marek, s3)

(Marek, s4)

(Marek, s5)

|U × P| = |U| · |P| = 4 · 5 = 20 dvojíc

Obľúbené ⊆ U × P

Kto má ktorú pesničku v obľúbených? Len niektoré dvojice zo súčinu.

s1 Ain't in LA
ADÉLA

s2 Leto v kufri
Gleb

s3 Blinding Lights
The Weeknd

s4 Birds of a Feather
Billie Eilish

s5 Espresso
Sabrina Carpenter

Ema

Tomáš

Lucia

Marek

♥ (Ema, s1)

♥ (Ema, s4)

♥ (Tomáš, s2)

♥ (Lucia, s1)

♥ (Lucia, s3)

♥ (Lucia, s5)

♥ (Marek, s4)

7 z 20 dvojíc. Takáto podmnožina súčinu sa volá relácia – v databáze je to tabuľka obľúbené(používateľ, pesnička).

Operácie, ktoré poznáš z appiek

A ∩ B · prienik

Dva kruhy, vyfarbený je len ich spoločný prekryv

Instagram – „Sleduje ho Ema a 12 ďalších“:
koho sledujem ja ∩ jeho followeri

A ∪ B · zjednotenie

Playlist na spoločnú párty:
moje obľúbené ∪ tvoje obľúbené

A \ B · rozdiel

Dva kruhy, vyfarbená je len časť prvého kruhu mimo druhého

Facebook – „Ľudia, ktorých možno poznáš“:
priatelia priateľov \ moji priatelia

Množiny priamo v kóde: Set

Python

moje = {"s1", "s4", "s7"}
tvoje = {"s4", "s5", "s7"}

moje & tvoje # {'s4','s7'}
moje | tvoje # zjednotenie
moje - tvoje # {'s1'}
"s4" in moje # True

TypeScript

const tagy = ["js","py","js"];
const u = new Set(tagy);
// Set {"js", "py"}

u.size // 2
u.has("py") // true
a.intersection(b) // ES2025

Set = žiadne duplikáty + rýchla otázka „je prvkom?“ – presne to, čo treba pri lajkoch, tagoch či unikátnych návštevníkoch.

Filtre v e-shope = prienik

Notebooky

Cena do 800 €

16 GB RAM

Tri prekrývajúce sa kruhy filtrov; zvýraznený je len stred, kde sa prekrývajú všetky tri

výsledky = N ∩ C ∩ R (zelený stred)

Každý ďalší zaškrtnutý filter = ďalší prienik → menej výsledkov, nikdy nie viac.

Na zamyslenie

Spotify má stovky miliónov používateľov a desiatky miliónov pesničiek.

Koľko prvkov má U × P?

Rádovo 10¹⁶ dvojíc.

Preto sa nikdy neukladá celý súčin – iba relácia „obľúbené“.