Komplexné čísla v hrách

Jednotková kružnica so štyrmi postupne otočenými šípkami

Matematické základy informatiky

Komplexné čísla v hrách

Ako sa otočí auto v GTA VI?

Hra je otáčanie, 60-krát za sekundu

60 fps

= 60 snímok (frames per second). Hra každých 16,7 ms nakreslí nový obrázok a v každom musí všetko trochu pootočiť.

🚗

Auto zatáča

Smer jazdy sa pri každom snímku pootočí o kúsok.

🎥

Kamera krúži

Pohneš myšou a celý svet sa otočí okolo hráča.

🗺️

Minimapa

Mapa v rohu sa točí podľa toho, kam sa pozeráš.

Ako otočiť bod (x, y) o uhol θ? Stačí ho vynásobiť komplexným číslom.

z = 3 + i

i·z = −1 + 3i

i·i·z = −3 − i

Krát i = otočenie o 90°

z = 3 + i
i·z = 3i + i² = −1 + 3i
i·i·z = −z = −3 − i

Bod (3, 1) prejde na (−1, 3), potom na (−3, −1). Dĺžka ostáva rovnaká: |z| = √10. Nič sa nenatiahlo, len otočilo.

Zatáčanie v kóde

Python má komplexné čísla v sebe

import cmath, math

smer = 1 + 0j # auto ide na východ
volant = cmath.exp(1j*math.radians(3))

for snimok in range(60):
    smer *= volant # 3° za snímku

print(smer) # ≈ −1, otočka o 180°

TypeScript: napíšeš si ich sám

type C = { re: number; im: number };

const krat = (a: C, b: C): C => ({
  re: a.re*b.re - a.im*b.im,
  im: a.re*b.im + a.im*b.re,
});

// (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

Jedno násobenie za snímku a auto zatáča. cmath.exp(iθ) = cos θ + i sin θ je Eulerov vzorec.

A v 3D? Kvaternióny

q = a + bi + cj + dk

Rozšírenie komplexných čísel o dve ďalšie imaginárne jednotky. Hamilton ich objavil v roku 1843 a vzorec vyryl do mosta v Dubline.

Unity

transform.rotation
je typu Quaternion

Unreal Engine

FQuat

Plynulá kamera

Prechod medzi dvoma natočeniami bez trhania a zaseknutia

AirPods: ticho = krát (−1)

Mikrofón zachytí hluk a slúchadlo zahrá tú istú vlnu otočenú o 180°. Sčítajú sa na nulu a ty počuješ ticho.

Shazam: pesnička → komplexné čísla

Pre každú frekvenciu dostaneme komplexné číslo z: |z| je hlasitosť, arg z je fáza. Oranžové vrcholy sú „odtlačok prsta“ pesničky, ktorý Shazam porovná s databázou.

Na zamyslenie

Auto zatáča o 3° za snímku a hra beží na 60 fps.

Za koľko sekúnd sa otočí dokola?

360° / 3° = 120 snímok = 2 sekundy

(cos 3° + i sin 3°)¹²⁰ = cos 360° + i sin 360° = 1